Fungsi Unit impuls dan Fungsi unit step

fungsi unit impuls

Sinyal adalah suatu isyarat atau pemberitahuan yang dapat ditangkap oleh indera untuk kepentingan penyampaian peringatan, petunjuk, atau informasi. Sinyal merupakan sebuah fungsi yang berisi informasi mengenai keadaan tingkah laku dari sebuah sistem secara fisik. Meskipun sinyal dapat diwujudkan dalam beberapa cara, dalam berbagai kasus, informasi terdiri dari sebuah pola dari beberapa bentuk yang bervariasi. Sebagai contoh sinyal mungkin berbentuk sebuah pola dari banyak variasi waktu atau sebagian saja.

Secara matematis, sinyal merupakan fungsi dari satu atau lebih variable yang tidak bergantung (independent variable). Sebagai contoh, sinyal wicara akan dinyatakan secara matematis oleh tekanan akustik sebagai fungsi waktu dan sebuah gambar dinyatakan sebagai fungsi ke-tajaman-an (brightness) dari dua variable ruang (spatial).

Untuk analisis, sebuah sinyal dapat didefinisikan sebagai sebuah fungsi matematika yang secara umum dapat ditulis sebagai berikut:

 y = f (x)

dengan x adalah variabel atau peubah yang independen (nilainya tidak bergantung pada nilai peubah lain) dan y (sinyal) merupakan peubah yang tidak independen (dalam hal ini nilai y bergantung pada nilai x. Peubah independen menentukan domain (daerah asal) dari sinyal, misalnya

1. y = sin (ωt) adalah suatu fungsi dengan variabel dalam domain waktu (time-domain) t sehingga merupakan sinyal yang berubah terhadap waktu (time-signal).
2. x(ω) = 1/(-mω² + icω + k) adalah sinyal yang mempunyai domain frekuensi yaitu ω atau disebut frequency-domain signal.
3. Intensitas citra (image) I_(x,y) merupakan sinyal yang mempunyai domain spasial atau disebut spasial-domain signal.

Pada Gambar 2.1, ditunjukkan contoh sinyal fungsi waktu yang diperoleh dari sebuah rekaman audio.

 Gambar 2.1. Contoh Sinyal Audio

Secara umum, variable yang tidak bergantung (independent) secara matematis diwujudkan dalam fungsi waktu, meskipun sebenarnya tidak menunjukkan waktu. Terdapat 2 tipe dasar sinyal, yaitu:

1. Sinyal waktu kontinyu (continous-time signal)

2. Sinyal waktu diskrit (discrete-time signal)

Pada sinyal kontinyu, variable independen terjadi terus-menerus dan kemudian sinyal dinyatakan sebagai sebuah kesatuan nilai dari variable independen. Sebaliknya, sinyal diskrit hanya menyatakan waktu diskrit dan mengakibatkan variabel independen hanya merupakan himpunan nilai diskrit.

Fungsi sinyal dinyatakan sebagai x dengan menyertakan variable dalam tanda (.). Untuk membedakan antara sinyal waktu kontinyu dengan sinyak waktu diskrit digunakan symbol t untuk menyatakan variable kontinyu dan simbol n untuk menyatakan variable diskrit. Sebagai contoh sinyal waktu kontinyu dinyatakan dengan fungsi x(t) dan sinyal waktu diskrit dinyatakan dengan fungsi x(n). Sinyal waktu diskrit hanya menyatakan nilai integer dari variable independen.

  

2.1.2. Sinyal Waktu Kontinyu

Suatu sinyal x(t) dikatakan sebagai sinyal waktu-kontinyu atau sinyal analog ketika memiliki nilai riel pada keseluruhan rentang waktu t yang ditempatinya. Sinyal waktu kontinyu dapat didefinisikan dengan persamaan matematis sebagai berikut.

f (t)≈ (− ∞, ∞) (1)

Fungsi Step (undak) dan Fungsi Ramp (tanjak)

Berikut ini ditunjukkan dua contoh sederhana pada sinyal kontinyu yang memiliki fungsi step (undak) dan fungsi ramp (tanjak). Sebuah fungsi step seperti pada Gambar 2.2a, dapat diwakili dengan suatu bentuk matematis sebagai:

      

Di sini fungsi undak (step) memiliki arti bahwa amplitudo pada u(t) bernilai nol pada t < 0 dan bernilai satu untuk semua t ≥ 0.

 Gambar 2.2. Fungsi Step dan Fungsi Ramp Sinyal Waktu Kontinyu

Untuk suatu sinyal waktu-kontinyu x(t), hasil kali x(t)u(t) sebanding dengan x(t) untuk t > 0 dan sebanding dengan nol untuk t < 0. Perkalian pada sinyal x(t) dengan sinyal u(t) mengeliminasi suatu nilai non-zero(bukan nol) pada x(t) untuk nilai t < 0.

Fungsi ramp (tanjak) r(t) didefinisikan secara matematik sebagai:

Perhatikan bahwa untuk t > 0, slope (kemiringan) pada r(t) adalah senilai 1. Sehingga pada kasus ini r(t) merupakan “unit slope”, yang mana merupakan alasan bagi r(t) untuk dapat disebut sebagai unit-ramp function. Jika ada variable K sedemikian hingga membentuk Kr(t), maka slope yang dimilikinya adalah K untuk t > 0. Contoh bentuk gelombang fungsi ramp ditunjukkan pada Gambar 2b. 

Sinyal Periodik

Sinyal-sinyal periodik muncul secara alamiah dalam sistem-sistem dimana terjadi rotasi (putaran), misalnya roda gigi atau gearboxes. Pada pembahasan lain akan diperlihatkan bagaimana sinyal-sinyal periodik dapat digunakan untuk mempermudah pengujian sebuah sistem; biasanya respon sistem juga berupa sinyal periodik (untuk sistem linier). Dengan demikian sinyal deterministik dapat dibagi menjadi dua jenis sinyal yaitu sinyal periodik dan sinyal aperiodik. Sinyal aperiodik merupakan sinyal yang tidak memenuhi sifat periodik.

Gambar 2.3 Klasifikasi sinyal deterministik; periodik dan aperiodik

Ditetapkan T sebagai perioda berupa nilai real positif. Suatu sinyal waktu kontinyu x(t) dikatakan periodik terhadap waktu dengan periode T jika

x(t + T) = x(t) untuk semua nilai t, − ∞ < t < ∞

Sebagai catatan, jika x(t) merupakan periodik pada periode T, ini juga periodik dengan qT, dimana q merupakan nilai integer positif. Periode fundamental merupakan nilai positif terkecil T untuk persamaan (5). Suatu contoh, sinyal periodik memiliki persamaan seperti berikut:

x(t) = A cos(ωt + θ)

Disini A adalah amplitudo, ω adalah frekuensi dalam radian per detik (rad/detik), dan θ adalah fase dalam radian. Frekuensi f dalam hertz (Hz) atau siklus per detik adalah sebesar f = ω/2π.

Untuk melihat bahwa suatu fungsi sinusoida yang diberikan dalam persamaan berikut adalah fungsi periodik, untuk nilai pada variable waktu t, maka:

Sedemikian hingga fungsi sinusoida merupakan fungsi periodik dengan periode 2π/ω, nilai ini selanjutnya dikenal sebagai periode fundamentalnya. Sebuah sinyal dengan fungsi sinusoida x(t) = A cos(ωt+θ) diberikan pada Gambar 2.4, untuk nilai θ = −π/2 , dan f = 1 Hz.

 Gambar 2.4. Sinyal Periodik Sinusida

Perlu diperhatikan bahwa periodisitas tidak berarti harus berbentuk sinusoidal, perhatikan gelombang kotak berikut ini yang juga merupakan sinyal periodik.

 Gambar 2.5. Gelombang kotak; sebuah sinyal periodik

Dalam pembahasan yang lanjut nantinya akan dijelaskan bahwa gelombang kotak mempunyai bentuk fungsional (yaitu deret Fourier) sebagai berikut.

yaitu bahwa gelombang kotak tersusun atas superposisi (jumlahan) tak terhingga gelombang sinus dengan periode τ, τ /2, τ / 3, .... Hal terpenting yang terlihat di sini adalah bahwa komponen dengan periode τ /2, τ / 3, dst terus berulang setelah waktu τ yaitu S(t) = S(t + τ) dan gelombang kotak pada persamaan (1.7) merupakan sinyal periodik. Dari kenyataan ini sinyal periodik dapat dibagi menjadi dua jenis yaitu periodik frekuensi tunggal (monofrequency) dan multifrekuensi (multifrequency).

 Gambar 2.6  Klasifikasi Sinyal Periodik; Frekuensi Tunggal dan Multifrekuensi

Periodisitas yang dinyatakan oleh persamaan (1.5) dan (1.6) mengimplikasikan bahwa sinyal periodik berulang sepanjang waktu, sehingga dengan demikian jenis sinyal aperiodik merupakan sinyal yang hanya ada pada suatu waktu yang tertentu saja. Misalkan tanggapan pendulum teredam yang dilepaskan dari posisi setimbang θ = θ₀ pada saat t = 0 yang dinyatakan dengan persamaan berikut.

y(t) =θ_oe^-ct cos(ωt)

 Gambar 2.7  Respon Transien

Sinyal ini hanya ada untuk waktu yang terhingga saja. Meskipun nilai e^-ct > 0, untuk sebarang waktu t, sistem riil akan dibawa ke titik setimbang oleh efek pangkat-tinggi (higher order) daripada redaman. Respon sistem ini diperlihatkan pada Gambar 2.7.

Sinyal-sinyal yang hanya ada pada suatu jangkauan waktu yang tertentu saja disebut transien. Beberapa contoh untuk sinyal semacam ini adalah respon sistem terhadap eksitasi berupa impuls, sebuah ledakan, atau petir (halilintar). Kebalikan dari sebuah transien adalah sejenis fungsi aperiodik yang tak berhingga. Dalam hal ini periodisitas gagal tercapai karena satu atau lebih parameter penting sinyal berubah. Misalnya rerata sinyal berubah.

y(t) = at + b cos (ωt)

Pada Gambar 2.8 diperlihatkan satu contoh sinyal dengan rerata yang ubah waktu.

 Gambar 2.8  Sebuah Sinyal dengan Rerata Ubah Waktu

Sinyal seperti ini dapat terjadi pada sebuah mesin yang hampir (mendekati) rusak, sehingga karakter yang demikian sangat penting dalam usaha monitoring kondisi mesin. Jenis sinyal lain yang juga penting adalah sinyal dengan amplitude yang ubah waktu yang dapat dinyatakan dengan persamaan

y(t) = at cos (ωt)

Gambar 2.9  Sebuah Sinyal dengan Amplitude Ubah Waktu

Gambar 2.10  Sebuah Sinyal dengan Frekuensi Ubah Waktu

Sinyal juga dapat bervariasi dalam frekuensinya, misalnya pada persamaan berikut:

y(t) = a cos (ωt²)

Dengan demikian sinyal aperiodik dapat dibagi menjadi sinyal yang transien dan sinyal aperiodik tak berhingga (infinite aperiodic).

 

 Gambar 2.11. Klasifikasi Sinyal Aperiodik; Transien dan Infinite Aperiodic

2.1.3 Sinyal Diskrit

Pada teori system diskrit, lebih ditekankan pada pemrosesan sinyal yang berderetan. Pada sejumlah nilai x, dimana nilai yang ke-x pada deret x(n) akan dituliskan secara formal sebagai:

x = {x(n)}; −∞ < n < ∞

Dalam hal ini x(n) menyatakan nilai yang ke-n dari suatu deret, persamaan di atas biasanya tidak disarankan untuk dipakai dan selanjutnya sinyal diskrit diberikan seperti Gambar (4) Meskipun absis digambar sebagai garis yang kontinyu, sangat penting untuk menyatakan bahwa x(n) hanya merupakan nilai dari n. Fungsi x(n) tidak bernilai nol untuk n yang bukan integer; x(n) secara sederhana bukan merupakan bilangan selain integer dari n.

 Gambar 2.12 Contoh discrete time signal (a) Digital Periodik (b) n positif

                              (c) discrete time (d) digital non periodik.

Sekuen Impuls

Deret unit sample (unit-sampel sequence), δ(n), dinyatakan sebagai deret dengan nilai:

Deret unit sample mempunyai aturan yang sama untuk sinyal diskrit dan system dnegan fungsi impuls pada sinyal kontinyu dan system. Deret unit sample biasanya disebut dengan impuls diskrit (diecrete-time impuls), atau disingkat impuls (impulse).

Gambar 2.13. Sinyal Impuls

 Sekuen Step

Deret unit step (unit-step sequence), u(n), mempunyai persamaan sebagai berikut:

Unit step dihubungkan dengan unit sample sebagai:

 Unit sample juga dapat dihubungkan dengan unit step sebagai:

δ(n) = u(n) − u(n− 1)

Gambar 2.14 Sekuen Step

Sinus Diskrit

Deret eksponensial real adalah deret yang nilainya berbentuk an, dimana a adalah nilai real. Deret sinusoidal mempunyai nilai berbentuk Asin(ωon + φ).

 Gambar 2.15 Sinyal Sinus Diskrit

Deret y(n) dinyatakan berkalai (periodik) dengan nilai periode N apabila y(n) = y(n+N) untuk semua n. Deret sinuosuidal mempunyai periode 2π/ ω₀ hanya pada saat nilai real ini berupa berupa bilangan integer. Parameter ω₀ akan dinyatakan sebagai frekuensi dari sinusoidal atau eksponensial kompleks meskipun deret ini periodik atau tidak. Frekuensi ω₀ dapat dipilih dari nilai jangkauan kontinyu. Sehingga jangkauannya adalah 0 < ω0 < 2π (atau -π < ω₀ < π) karena deret sinusoidal atau eksponensial kompleks didapatkan dari nilai ω₀ yang bervariasi dalam jangkauan 2πk <ω₀< 2π(k+1) identik untuk semua k sehingga didapatkan ω₀ yang bervariasi dalam jangkauan 0 < ω₀ < 2π.